1.6 Sezioni normali e raggi di curvatura dell'ellissoide terrestre

 

 

Si considerino il punto P sull’ellissoide e la normale ellissoidica n in P. Il piano contenente n interseca l’ellissoide secondo linee piane che sono dette SEZIONI NORMALI.

Le sezioni normali hanno nel punto P raggi di curvatura diversi in funzione dell’angolo che la sezione normale forma con un piano che assumiamo come riferimento.

I raggi di curvatura variano con continuità da un valore minimo, che indichiamo con r, ad un valore massimo, che indichiamo con N.

r e N sono detti raggi di curvatura principali e corrispondono alle sezioni normali principali che sono:

 curva meridiana (intersezione fra ellissoide e piano contenente la normale n e l’asse di rotazione)

 perpendicolare al meridiano (corrispondente al piano che contiene la tangente al parallelo)

 

1.6.1 CALCOLO DI r (RAGGIO DI CURVATURA DEL MERIDIANO)

Il raggio di curvatura di una curva piana è il limite del rapporto tra elemento infinitesimo di arco e angolo compreso tra le normali condotte per gli estremi di tale elemento

Se si considera la curva meridiana, si ha l = cost e quindi da = dj , da cui

ma

e

quindi

che rappresenta il raggio di curvatura minimo o raggio di curvatura del meridiano.

 

1.6.2 CALCOLO DI N (GRAN NORMALE)

 

Partiamo dal Teorema di Meusnier, secondo il quale…

"…il raggio di curvatura di una sezione obliqua è uguale al raggio di curvatura della sezione normale corrispondente al piano che contiene la tangente alla sezione obliqua moltiplicato per il coseno dell’angolo formato tra i piani delle 2 sezioni".

 

 Per il teorema precedente e riferendosi alla figura, si ha:

quindi

 

Se si considera la relazione

si ottiene che l’ellissoide terrestre nell’intorno di un punto si discosta poco da una sfera.

Come raggio medio di curvatura dell’ellissoide in un punto possiamo considerare, allora, la media geometrica

La sfera di raggio R tangente all’ellissoide nel punto P è detta SFERA LOCALE.

Tale sfera è considerata come superficie di riferimento per problemi in "ambito topografico", cioè nel caso in cui si considerano porzioni limitate della superficie terrestre (come, ad esempio, nel caso si consideri una zona corrispondente ad un massimo di 20 km di distanza rispetto al punto baricentrale della zona stessa).

 

TORNA A IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE