Abbiamo visto che la superficie della Terra ha una forma irregolare. Vediamo ora quali superfici sono state adottate come superfici di riferimento semplificate che approssimano la forma della superficie terrestre.

1.2 Geoide

La superficie fisica della Terra è il GEOIDE, cioè la superficie normale in ogni punto alla direzione della verticale, cioè alla direzione della forza di gravità. E’ la superficie di livello che meglio interpola la superficie media degli oceani resa stazionaria dopo aver sottratto l’influenza di maree, correnti, effetti meteorologici.

Analiticamente consideriamo un sistema di coordinate OXYZ, con origine O nel baricentro della Terra, asse Z coincidente con l’asse di rotazione terrestre e assi X e Y coincidenti con gli assi principali di inerzia (supponiamo che la Terra sia un corpo rigido che ruota con velocità angolare uniforme w =7.292155 10-5 rad/s).

Il campo della gravità terrestre è il campo delle forze che agiscono sull’unità di massa visto da un osservatore in quiete rispetto al riferimento geocentrico. Abbiamo

dove

 f(P) è la forza di attrazione newtoniana, cioè la risultante di tutte le forze elementari che ogni elemento di massa della Terra esercita sull’unità di massa dm posta in P.

 c(P) è la forza centrifuga, dovuta alla rotazione della Terra attorno all’asse polare Z e diretta secondo la normale dal punto P all’asse Z verso l’esterno della Terra:

 

Il campo della gravità terrestre è conservativo e può essere espresso da

g = grad W = grad ( V + v)

 

dove

W:

potenziale di gravità

V:

potenziale puramente gravitazionale

G:

6.67 10-11 (costante di gravitazione universale)

dmQ:

elemento di massa della Terra, posto in Q

rPQ:

distanza tra il punto Q e il punto P in cui si valuta il potenziale

v:

potenziale centrifugo

 

Il potenziale gravitazionale V è armonico al di fuori delle masse; soddisfa quindi l’equazione di Laplace

Può essere sviluppato SERIE di ARMONICHE SFERICHE; in un sistema geocentrico avremo:

dove

sono le armoniche sferiche,

nelle quali:

 

 q è la colatitudine del punto (in un sistema di coordinate polari tridimensionale)

 l è la longitudine del punto (in un sistema di coordinate polari tridimensionale)

 

sono le funzioni associate di Legendre

 

i polinomi di Legendre

 

 

sono i coefficienti delle armoniche sferiche (costanti di Stokes)

Le superfici di livello e le superfici verticali sono rispettivamente le superfici equipotenziali e le linee di forza del campo di gravità.

Definiamo quindi il geoide come una particolare superficie di livello, di equazione

Come si vede tale superficie è piuttosto complicata da trattare. Si devono quindi introdurre delle semplificazioni.

 

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